\(\left(x+1\right)\left(x-3\right)< 2\sqrt{x^2-2x-3}+3\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)-3\left(x+1\right)< 2\sqrt{x^2-2x-3}+3\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-3x-3< 2\sqrt{x^2-2x-3}+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3< 2\sqrt{x^2-2x-3}+3\) (1)

Đặt \(t=\sqrt{x^2-2x-3}\) ( điều kiện \(t\ge0\) )

\(\Rightarrow bpt\left(1\right)\Leftrightarrow t^2< 2t+3\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t-3< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t< -1\left(loại\right)\\t>3\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x-3}>3\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3>9\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-12>0\)

\(\Leftrightarrow x\in\left(-\infty;1-\sqrt{13}\right)\cup\left(1+\sqrt{13};+\infty\right)\)

Vậy nghiệm của bất phương trình \(x\in\left(-\infty;1-\sqrt{13}\right)\cup\left(1+\sqrt{13};+\infty\right)\)

1) ĐK: \(x\ge1\)

Pt \(\Leftrightarrow\sqrt{5x-1}-3-\left(\sqrt{3x-2}-2\right)-\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{5x-1-9}{\sqrt{5x-1}+3}-\frac{3x-2-4}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{x-1-1}{\sqrt{x-1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{5\left(x-2\right)}{\sqrt{5x-2}+3}-\frac{3\left(x-2\right)}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{5}{\sqrt{5x-2}+3}-\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\) (nhận)

2) ĐK: \(0\le x\le1\)

Đặt \(a=\sqrt{x};b=\sqrt{1-x}\left(a,b\ge0\right)\)

ta có \(a^2+b^2=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1+2ab\left(1\right)\)

Pt đã cho trở thành: \(1+\frac{2}{3}ab=a+b\left(2\right)\)

Thế (2) vào (1) ta được: \(1+2ab=\left(1+\frac{2}{3}ab\right)^2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}ab=\frac{3}{2}\\ab=0\end{array}\right.\)

Thế ab = 3/2 vào (1) được a + b = 2, khi đó a, b là hai nghiệm của pt:

\(t^2-2t+\frac{3}{2}=0\) (vô nghiệm)

Thế ab = 0 vào (1) được a + b = 1, khi đó a, b là hai nghiệm của pt:
\(t^2-t=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=1\\t=0\end{array}\right.\)

* Khi a = 1, b = 0: pt đã cho có nghiệm x = 1 (nhận)

* Khi a = 0; b = 1: pt đã cho có nghiệm x = 0 (nhận)

Bạn xem lại đề câu b và c nhé !

a) \(\sqrt{x^2+2x+4}\ge x-2\) \(\left(ĐK:x\ge2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+4>x^2-4x+4\)

\(\Leftrightarrow6x>0\Leftrightarrow x>0\) kết hợp với ĐKXĐ

\(\Rightarrow x\ge2\) thỏa mãn đề.

d) \(x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\)

\(ĐKXĐ:x\ge2,y\ge3,z\ge5\)

Pt tương đương :

\(\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-4\sqrt{y-3}+4\right)+\left(z-5-6\sqrt{z-5}+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-3}=2\\\sqrt{z-5}=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=7\\z=14\end{cases}}\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

e) \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\) (1)

\(ĐKXĐ:x\ge0,y\ge1,z\ge2\)

Phương trình (1) tương đương :

\(x+y+z-2\sqrt{x}-2\sqrt{y-1}-2\sqrt{z-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y-1}=1\\\sqrt{z-2}=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)( Thỏa mãn ĐKXĐ )

1.

ĐKXĐ:...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a\\\sqrt{4-x^2}=b\end{matrix}\right.\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=4\\a+b=2+2ab\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=4\\2ab=a+b-2\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế:

\(\left(a+b\right)^2=a+b+2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=-1\\a+b=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\sqrt{4-x^2}=-1\\x+\sqrt{4-x^2}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{4-x^2}=-1-x\left(x\le-1\right)\\\sqrt{4-x^2}=2-x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4-x^2=x^2+2x+1\\4-x^2=x^2-4x+4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x^2+2x-3=0\\2x^2-4x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{-1-\sqrt{7}}{2}\\x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

3/

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+5x+1}-\sqrt{4x^2-4x+4}=9x-3\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4x^2+5x+1}=a\ge0\\\sqrt{4x^2-4x+4}=b>0\end{matrix}\right.\) ta được:

\(a-b=a^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a+b=1\end{matrix}\right.\)

Th1: \(a=b\Leftrightarrow4x^2+5x+1=4x^2-4x+4\)

\(\Rightarrow9x=3\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)

Th2: \(a+b=1\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+5x+1}+\sqrt{4x^2-4x+4}=1\)

Mà \(\sqrt{4x^2-4x+4}=\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3}\ge\sqrt{3}>1\)

\(\Rightarrow\) Pt vô nghiệm

4.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+7x+10}=a>0\\\sqrt{2x^2+x+4}=b>0\end{matrix}\right.\) ta được:

\(a+b=\frac{a^2-b^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\left(loại\right)\\a-b=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+7x+10}-\sqrt{2x^2+x+4}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+7x+10}=\sqrt{2x^2+x+4}+2\)

\(\Leftrightarrow2x^2+7x+10=2x^2+x+8+4\sqrt{2x^2+x+4}\)

\(\Leftrightarrow3x+1=2\sqrt{2x^2+x+4}\) (\(x\ge-\frac{1}{3}\))

\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)^2=4\left(2x^2+x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-15=0\Rightarrow x=3\)